關於蒙提霍爾問題

gunhowreg

這是個決勝21點的電影中提出的問題
也就是著名的三道門羊與轎車的問題

給參賽者3道門去選，兩道門是羊一道門是車
選定後主持人會刪掉一扇羊的的門
請問接下來參賽者若要得到車是換門比較有利還是不換比較有利?


為此我想了半天之後也寫信去問了台大的蔡教授
不知道在COCO這邊有沒有人有意願討論這樣的問題?
信件內容如下:
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蒙提霍爾問題

蔡聰明教授你好，不知道這是否是你的信箱，但是關於三道門，轎車與羊的問題我對於結論感覺很奇怪，雖然我沒有很高深的數學理論可以用代數之類的表演式將它寫出來，可是我發現大部分的結論都是換門比較有利!!

我相信這是有問題的，因此想跟你請教!!我只是一般的小市民

我的疑問是:若是換門對參賽者比較有利，那不是代表主辦單位會因為換門的參賽者而發出更多的汽車?

以下是一般的公開資料

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

以下是蔡教授寫的論證

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_11_1/page4.html

想必蔡教授已經對這問題已經做過研究了

因此我先定義出我所謂有利

所謂換不換門對參賽者是否有利，最後是取決於主辦單位是否會發出更多的汽車，只有真實發出的汽車變多了，參賽者換門的影響才是有利的。不然都是參賽者陷在規則中的假象而已，因為若是換門有利，結論上就會出現主辦單位因為參賽者的換門而發出了更多的轎車，這是參賽者與主辦單位之間的博弈，並不是參賽者之間的博弈，因此考慮參賽者贏家的分布狀況並沒有意義。

在開始論述之前我先舉我知道的一些預備知識

A. 魔術師的動態分歧雙面手法

在魔術表演中，常常可以看見魔術師將牌分成兩邊讓觀眾選擇，在觀眾的選擇中，若是觀眾選了左手邊的牌，而魔術師要的牌在右手邊，他就會對觀眾說:【很好這是你選的牌，請將他收起來】，然後將右手邊的牌收到魔術師手裡。若是觀眾選了右手邊的牌，他就會跟觀眾說:【很好這是你選的牌】然後將右手邊的牌收到魔術師手裡。

在這手法中，相信只要稍具邏輯的人都知道，魔術師選中他要的牌的機率是100%，而不是在兩個牌中的50%，這是魔術師身為主人的特權。若是有人說因為有兩個牌讓觀眾選，所以魔術師選中正確的牌照機率算是50%，我想這是很奇怪的。

同樣的魔術師也可將相同的手法分到4各牌堆，8各牌堆甚至是100各牌堆，只要魔術師知道哪個牌是他要的，一定會選中。因為魔術師利用特權影響了機率

B 丟銅板的動態分岐

我們假設有一個公正的銅板，出現正反面的機率都是1/2，所以我們可以知道一個銅板出現連續3次正面的機率是1/8，那麼當這個銅板已經出現兩次正面時，下次出現正面的機率是多少?

相信大家都知道答案是1/2，因為每次都銅板是獨立事件並不會受到之前的選擇影響。

所以同樣的問題下，我若將上面的問題換成，

請問連續出現兩次正面之後下次要猜哪一邊比較有利?

我想答案應該是正反面都是50%，沒有哪邊比較有利，要做實驗也很簡單，只要我們丟銅板出現兩次正面後才開始記錄數據就好了，幸好目前電腦科技很發達，這方面的實驗可以用電腦代工，不過我想這方面的論證應該很多了，確實是50%無誤。

基本上這三門遊戲的規則是

參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裏有甚麼。

• 主持人知道每扇門後面有什麼。
• 主持人必須開啓剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
• 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
  
  
  • 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
  • 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機（機率均勻分佈）在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
    
    
• 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。
  
  

轉換選擇可以增加參賽者的機會嗎？

以主辦單位來看，其實不論你換不換門，機率上你有100個人來參加就是有50個人抱車子回去，因為我給了參賽者虛假的門，這就是如同魔術師的論述一樣，我利用了我的特權讓參賽者最後只能有2道門，一道門有獎，一道門沒有獎，不論參賽者做了任何努力，最後參賽者抱回獎品的機率都被我控制在1/2。而對參賽者來說，這次選中與否與上次我換不換門跟本沒關係阿，就如同預備知識B一樣，當主辦單位用特權讓我選錯門的機率由2/3降到1/2時，這時參賽者考慮的不就是當下的狀況嗎?又把之前的狀況考慮進來有何益處?

已經發生的事實我們接受他也就是了，難道我們能說在連續丟出2次銅板正面後，下一次丟出正面的機會不是1/2而是1/8嗎?

既然已經發生了這狀況，我們也刪除了一道假門為何又將假門拿來重新計算期望值?而不是認真的思考現在的門的期望值?我們已經很明白現在的門有獎的機會是50%不就夠了?而50%換跟不換又有何差別?

現在大多數的論述是換門比較有利，

可是由主辦單位來看我覺得更接近事實

若主辦單位沒有發出更多的車子，又何來真正的利益??

所有的算式推導中都在計算一扇虛假的門，就像魔術師給的虛假的牌堆，錯誤的假設又如何能反映事實?

這讓我想到一個故事，朝三暮四的猴子........

教授能夠給我解惑嗎?

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我想要證明這個論述換門比較有利

應該是用電腦可以模擬出來的

一邊是換門組，一邊是不換門組

1.電腦主辦單位隨機決定哪扇門有獎品

2.電腦參賽者隨機決定一開始參賽者選的門

3.若是電腦參賽者選中了獎品則電腦主辦單位隨機選擇一扇沒有獎品的門刪掉

   若是電腦參賽者沒有選中獎品則電腦主辦單位刪掉不是獎品的門

4.電腦參賽者若是換門組就一定要換門，電腦參賽者若是不換門組就不可以換門

5.讓電腦跑各大數目後例如一萬次，統計換門組發出多少汽車。不換門組發出多少汽車

若是目前換門的理論是對的，應該會產生換門組發出的汽車接近2倍於不換門組發出的汽車

反之若是換門論述有誤，應該會產生兩邊發出的汽車差不多

不過我沒有寫電腦程式的能力，所以也只能想想.........

不知道COCO這邊的朋友有沒有其他的意見可以看看?

din88

不換中獎機率 => 1/3
換門中獎機率 => 1/2
1/2 > 1/3
所以選擇換門較有利

神速攻擊

先觀查再考慮換不换,因為現場有人知道答案,搞不好羊也會叫

gunhowreg

din88 發表於 14-10-4 10:31
不換中獎機率 => 1/3
換門中獎機率 => 1/2
1/2 > 1/3

這是只考慮單方面的論述~~
也就是我所說朝三暮四道理

原本不換門中獎率1/3  不中獎率2/3

但是經由主辦單位的特權
替除掉原本機率中
主持人將有獎品的門開出的狀況機率的期望值就改變了
在沒有規定的狀況下主持人是有可能將有獎品的門開出的

藉由主辦單位的規定
第二次選門的當下

堅持不換門的失敗率由66%將低為50%
堅持換門的成功率由66%降低為50%

若由原本換門的角度來看由1/3的得獎率成功變成1/2，好像應該選1/2
可是忘了考慮另外一邊的成功率也由2/3降低為1/2了
這樣看來兩邊都是1/2的狀況下，換門的意義何在?

其實將一開始的狀況期望值拿來跟第2次選門的期望值混在一起做比較
應該是沒有意義的
真正對參賽者有利的應該是當下哪個門得到獎品的機會大，我們就去做出選擇
進而讓主辦單位發出更多的汽車

就像我說的銅板動態分歧的例子一樣!!
將全部銅板丟出3次正面的機率是1/8，來斷定連續出現兩次正面後
下次要猜是反面較有利的想法一樣
在各個事件獨立之下
這樣的論述應該不成立

兩個期望值並沒有可以拿來比較的地方，因為條件發生改變了

manhavecoco

當下都是一半一半

gunhowreg

manhavecoco 發表於 14-10-4 10:52
當下都是一半一半

不過很多數學大師都跟我們說
不是這樣

所以我開始懷疑~~
這些數學大師應該不是算式出了問題

而是假設出了問題

他將每個門被選的機率看為一致
事實上永遠有一到虛假的門被納入了計算

這就像我舉的魔術師的例子一樣~~
在魔術師的特權下，中牌機率是100%
你以為有得選，其實是沒得選!!

在主辦單位的特權下，其實只有2道門可以選
一道有獎一道沒獎
不論換不換門，發出車子的機率應該是固定的

din88

gunhowreg 發表於 14-10-4 10:51
這是只考慮單方面的論述~~
也就是我所說朝三暮四道理

在仔細一下
之前沒想清楚 應該是

不換中獎機率 => 1/3
換門中獎機率 => 2/3
2/3 > 1/3
所以選擇換門較有利

gunhowreg

TO DIN88

我想可能我解釋的不夠清楚

在第2次選門的當下選哪邊比較有利並不是因為在一開始的選擇換了門後中獎機率提升所以選換門比較有利

而是考慮當下哪道門有比較高的中獎率

也就是說若是3道門中獎機率是 70% 50% 60% 我們不管第一次選擇哪道門
都應該將選擇定在70%的門
是選勝率最高的門而不是提升了多少勝率!!
提升了多少勝率並不是對參賽者最有利的

就算不換門只要一開始我選的是機率最高的門，就算不換門，提升勝率是0%
這還是對參賽者最有利的選擇

在第二次選門當中有獎品跟沒獎品的門並沒有任何邏輯指出哪道門比較有機會是有轎車的，機率各半的狀況下，怎樣選其實無關緊要!!
重點在於隔壁的門勝率是多少，而不是第2次選的門跟第1次比較起來提升了多少勝率

畢竟真正的利益在於拿回轎車，而不是提升勝率
更何況....兩個不同的條件下比較勝率又有何意義?

一個是有3道門可以選的勝率
這是一般的計算

一個是有2道門+一道你以為選得到卻永遠沒機會的門的勝率
這是主辦單位的計算

這兩個期望期拿來比較的意義何在?

NathanYu

個人也是認為,"關鍵決策"的勝率是1/2, 但個人是會選擇換門.

讓我們把前戲加長到100道門好了, 這就可以很明顯看出我們第一次決策的勝率有多渺茫了.

hitrader

生死有命,富貴在天!!!
當然不換~

gunhowreg

NathanYu 發表於 14-10-4 11:40
個人也是認為,"關鍵決策"的勝率是1/2, 但個人是會選擇換門.

讓我們把前戲加長到100道門好了, 這就可以很明 ...

我個人覺得這應該是錯誤的感覺而已
就如同我一開始的丟銅板論述一樣
參賽者並沒有隨者條件設定的不同更改設定他的機率假設
事實上隨者主辦單位不斷地更改條件會發現一開始選的門正確率正在提升
一開始覺得沒選的門失敗率正在下降
直到平衡

以魔術師的論述來說
不管你將牌堆分成2堆，8堆，還是100堆
魔術師都可以不停地將牌堆變成他要的牌堆跟他不要的牌堆
他只要說這是你選的牌堆請將他放在左邊，不選的牌堆放在右邊
最後就是兩堆牌而已
不管分成多少堆對魔術師而言永遠只有，他要的牌堆跟他不要的牌堆而已
差別只在觀眾不知道
而觀眾在計算勝率時若是沒有隨者魔術師每次的變化作調整
就會產生魔術師會選錯的錯覺
以一百牌堆來說，他會認為魔術師的正確率只有1/100
但是我們都知道....這不符合事實

以銅板的論述來說
一開始的假設是一個銅板連續出現3次正面的機率是1/8
但是當我們將條件變化為已經連續出現兩次正面後出現反面的機會是多少時
若是我們還停留在一開始的假設，就會誤判機率
我的觀點是已經發生的事實無法改變，我們能選擇的只有剩下來的選項!!
並由其中判斷哪邊有利

以三道門跟車子的論述來說
所有的機率算法是每道門1/3開始的，也就是說一開始的選擇並沒有任何限制


但是透過主持人的權利有些機率被刪掉了，而算式上並沒有做出相應的調整
大多的論述是這樣的基礎做第2次選門的計算
EX

參賽者挑汽車，主持人挑兩頭羊的任何一頭。轉換將失敗。

參賽者挑A羊，主持人挑B羊。轉換將贏得汽車。

參賽者挑B羊，主持人挑A羊。轉換將贏得汽車。

事實上還有一些選項是被刪掉的，

例如:主持人開門直接選到獎品遊戲結束

事實上在機會均等的3門遊戲中，必然會有機率發生這樣的事情

然而被刪掉了.....

所以在第2道門的選擇論述中用一開始就是每道門1/3的機率原本就是個錯誤，他需要被調整!!!

錯誤的假設開頭，怎會有正確的結果?

就如同我之前所論述....

已經發生的事實，就是既定的選項

接下來我們只是在剩下的選項中選擇!!

NathanYu

假設30個人玩這游戲, 車子很平均分布在A, B, C門中, 所以一開始都選A不影響統計結果

第二階段,撤了一道門, 剩下左, 右可以選, 不是在左就是在右, 看似1/2勝率,

主辦單位不掉包的話, 平均分布的結果應該要如下圖.



換門的有20人獲得車子, 不換的只有10人

這句我得收回了..

個人也是認為,"關鍵決策"的勝率是1/2

a25575703

版大所提出的問題，小弟也很好奇，所以運用EXCEL來模擬，產生下列的結果。

第一個模擬：是三道門有猜中車子的次數與沒猜中的次數，運用EXCEL產生10000次的亂數模擬。

三道門有猜中的次數：3317     33.17%
三道門沒猜中的次數：6683     66.83%

第二個模擬：先從三道門選擇一道門，再從另外兩道門刪除掉一道沒有車子的門，接著是統計有換門與沒有換門，會得到車子的次數，一樣運用EXCEL產生10000次的亂數模擬。

兩道門有換門且有猜中的次數：6683     66.83%
兩道門無換門且有猜中的次數：3317     33.17%

以上是小弟模擬出來的結果，若有不對，還請多多指教。謝謝

Sirius

換門較有利

《聰明學統計的13又1/2堂課：每個數據背後都有戲，搞懂才能做出正確判斷》的第5 1/2章討論這問題
大陸譯本叫《赤裸裸的統計學》

簡單解釋，以3門為例
剛開始選一個門，中獎機率是1/3，另二個門合計機率是2/3
主持人把另一未中獎的門打開，剩下的那個門獨佔2/3機率

以100門為例
剛開始選一個門，中獎機率是1/100，另99個門合計機率是99/100
主持人把98個未中獎的門打開，剩下的那個門獨佔99/100機率

書上提到一個蒙提霍爾問題的線上模擬遊戲，直接實際試試最清楚

期貨可居

賭的是機率，輸贏的是人性。

最後是主持人跟參賽者的較勁。